Question

設(shè)a＞0，b＞0，給出下列命題：
①若2^a+2a=2^b+3b，則a＞b；        ②若2^a+2a=2^b+3b，則a＜b；
③若2^a-2a=2^b-3b，則a＞b；        ④若2^a-2a=2^b-3b，則a＜b；
其中真命題是

①

．（填序號(hào)）

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性和圖象，進(jìn)而即可得出結(jié)論．

解答：解：對(duì)于①②考查函數(shù)f（x）=2^x+2x，g（x）=2^x+3x的單調(diào)性與圖象：
可知函數(shù)f（x）、g（x）在R上都單調(diào)遞增，
若2^a+2a=2^b+3b，則a＞b，因此①正確；
對(duì)于③④分別考查函數(shù)u（x）=2^x-2x，v（x）=2^x-3x單調(diào)性與圖象：
u′(x)=ln2(2x-

2

ln2

)，當(dāng)0＜x＜log2

2

ln2

時(shí)，u^′（x）＜0，函數(shù)u（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞log2

2

ln2

時(shí)，u^′（x）＞0，函數(shù)u（x）單調(diào)遞增．
故在x=log2

2

ln2

取得最小值-

2

ln2

．
v′(x)=ln2(2x-

3

ln2

)，當(dāng)0＜x＜log2

3

ln2

時(shí)，v^′（x）＜0，函數(shù)v（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＞log2

3

ln2

時(shí)，v^′（x）＞0，函數(shù)v（x）單調(diào)遞增．
故在x=log2

3

ln2

取得最小值-

6

ln2

．
據(jù)以上可畫出圖象．
據(jù)圖象可知：
當(dāng)2^a-2a=2^b-3b，a＞0，b＞0時(shí)，
可能a＞b或a＜b．
因此③④不正確．
綜上可知：只有①正確．
故答案為①．

點(diǎn)評(píng)：熟練利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和圖象是解題的關(guān)鍵．