Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，SA⊥底面ABCD，M為SA的中點(diǎn)，N為CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：平面SBD⊥平面SAC；
（Ⅱ）證明：直線MN∥平面SBC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明平面SBD⊥平面SAC，只需證明平面SBD內(nèi)的直線BD，垂直平面SAC內(nèi)的兩條相交直線SA與AC即可；
（Ⅱ）取SB中點(diǎn)E，連接ME，CE，要證明直線MN∥平面SBC，只需證明直線MN平行平面SBC內(nèi)的直線CE即可．

解答：證明：（Ⅰ）∵ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，（1分）
∵SA⊥底面ABCD，∴BD⊥SA，（2分）
∵SA與AC交于A，
∴BD⊥平面SAC，（4分）
∵BD?平面SBD
∴平面SBD⊥平面SAC（6分）

（Ⅱ）取SB中點(diǎn)E，連接ME，CE，
∵M(jìn)為SA中點(diǎn)，∴ME∥AB且ME=

1

2

AB，（8分）
又∵ABCD是菱形，N為CD的中點(diǎn)，
∴CN∥AB且CN=

1

2

CD=

1

2

AB，（10分）
∴CN∥EM，且CN=EM，
∴四邊形CNME是平行四邊形，
∴MN∥CE，（12分）
又MN?平面SBC，CE?平面SBC，
∴直線直線MN∥平面SBC（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查空間想象能力 邏輯思維能力，是中檔題．