Question

已知雙曲線，過(guò)點(diǎn)P（1，1）作直線l，使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則滿足上述條件的直線l共有    條．

Answer 1

【答案】分析：先確定雙曲線的右頂點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圖形可推斷出當(dāng)l垂直x軸時(shí)與C相切，與x軸不垂直且與C相切，與漸近線平行且與C較與1點(diǎn)（兩種情況）滿足l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
解答：解：根據(jù)雙曲線方程可知a=1
∴右頂點(diǎn)為（1，0），使l與C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的情況為：
①當(dāng)l垂直x軸時(shí)，此時(shí)過(guò)P（1，1）的直線方程為x=1，與雙曲線C只要一個(gè)公共點(diǎn)
②當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線方程為y-1=k（x-1）
聯(lián)立方程可得（4-k²）x²+2k（k-1）x-（k²-2k+5）=0
（i）當(dāng)4-k²=0即k=±2時(shí)，方程只有一個(gè)根，此時(shí)直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)
（ii）當(dāng)4-k²≠0時(shí)，△=4k²（1-k）²+4（4-k²）（k²-2k+5）=0，整理可得2k-5=0即k=
故答案為：4
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化和化歸的思想的運(yùn)用．