Question

（2012•東莞二模）如圖是曲柄連桿機構的示意圖，當曲柄CB繞點C旋轉時，通過連桿AB的傳遞，活塞作直線往復運動．當曲柄在CB₀位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點A在A₀處，設連桿AB的長為lmm，曲柄CB的長為rmm，l＞r．
（1）若l=300mm，r=80mm，當曲柄CB按順時針方向旋轉角為θ時，連桿的端點A此時離A₀的距離為AA₀=110mm，求cosθ的值；
（2）當曲柄CB按順時針方向旋轉角θ為任意角時，試用l、r、θ表示活塞移動的距離（即連桿的端點A移動的距離A₀A）

Answer 1

分析：（1）在三角形中，利用余弦定理，可求cosθ的值；
（2）分類討論，在△ABC中，由余弦定理，結合A₀A=A₀C-AC，即可求得結論．

解答：解：（1）由已知A₀A=110mm時，可得AC=300+80-110=270．
又AB=l=300mm，BC=r=80mm
∴cosθ=

AC2+BC2-AB2

2AC•BC

=

107

432

；
（2）設AC=x，若θ=0，則A₀A=0；若θ=π，則A₀A=2r
若0＜θ＜π，在△ABC中，由余弦定理，可得AB²=AC²+BC²-2AC•BCcosC
∴x²-2r（cosθ）x-（l²-r²）=0
∴x1=(rcosθ+

l2-r2sin2θ

)（mm），x2=(rcosθ-

l2-r2sin2θ

)＜0（不合題意，舍去）
∴A₀A=A₀C-AC=（l+r-rcosθ-

l2-r2sin2θ

)（mm）
若π＜θ＜2π，則根據對稱性，將上式中的θ改為2π-θ即可，有
A₀A=（l+r-rcosθ-

l2-r2sin2θ

)（mm）
∴θ為任意角時，有A₀A=（l+r-rcosθ-

l2-r2sin2θ

)（mm）．

點評：本題考查余弦定理的運用，考查三角模型的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．