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        1. 關(guān)于函數(shù)f(x)=
          (x-3)e-x,x≥0
          2ax-3,x<0
          (a為常數(shù),且a>0),對于下列命題:
          ①函數(shù)f(x)在每一點處都連續(xù);
          ②若a=2,則函數(shù)f(x)在x=0處可導;
          ③函數(shù)f(x)在R上存在反函數(shù);
          ④函數(shù)f(x)有最大值
          1
          e4

          ⑤對任意的實數(shù)x1>x2≥0,恒有f(
          x1+x2
          2
          )<
          f(x1)+f(x2)
          2
          ;
          其中正確命題的序號是
           
          分析:①只需說明在點x=0處連續(xù),只需說明在x=0時,兩段都有意義且函數(shù)值相等;
          ②只需說明在x=0時,兩段導函數(shù)都有意義且函數(shù)值相等;
          ③只需說明函數(shù)f(x)在R上不是單調(diào)函數(shù),用導數(shù)來證;
          ④求導,判斷f(x)的單調(diào)性,從而求出極大值,也就是最大值;
          ⑤已知函數(shù)在R上先增后減,所以f(x)的圖象在[0,+∞)上是上凸的,所以任取兩點連線應(yīng)在圖象的下方,故⑤錯誤.
          解答:解:①x=0時,(0-3)e0=-3,x=0時,2ax-3有意義,且2ax-3=-3,
          ∴函數(shù)f(x)在x=0處都連續(xù),即函數(shù)f(x)在每一點處都連續(xù);
          ∴①正確
          ②f′(x)=
          e-x(4-x)  x≥0
          2a         x<0
          (a>0),
          x=0時,e0(4-0)=4,令2a=4得a=2,
          ∴a=2,函數(shù)f(x)在x=0處可導;
          ∴②正確
          ③令f′(x)>0,得x<4,令f′(x)<0,得x>4,
          ∴f(x)在(-∞,4]上是增函數(shù),在[4,+∞)上是減函數(shù),
          ∴函數(shù)f(x)在R上不存在反函數(shù);
          ∴③錯誤
          ④令f′(x)=0,得x=4,x<4時,f′(x)>0,x>4時,f′(x)<0,
          ∴x=4時,f(x)有最大值為f(4)=e-4=
          1
          e4

          ∴④正確
          ⑤在函數(shù)f(x)[0,+∞)上任取兩點(x1,f(x1))(x2,f(x2))
          ∵f(x)的圖象在[0,+∞)上是上凸的,所以兩點連線應(yīng)在圖象的下方,
          ∴f(
          x1+x2
          2
          )>
          f(x1) +f(x2)
          2

          ∴⑤錯誤.
          故答案為①②④
          點評:連續(xù)就是函數(shù)圖象不間斷,在x=0可導就是導函數(shù)在兩段導函數(shù)都有意義且函數(shù)值相等,函數(shù)在某一區(qū)間上不單調(diào),就不會有導函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值,結(jié)合函數(shù)圖象,知上凸的函數(shù)圖象,任取兩點,兩點連線應(yīng)在圖象的下方,過兩點中點作x軸的垂線,與圖象的交點在上,交點縱坐標為f(
          x1+x2
          2
          ),與線段的交點在下,交點縱坐標為
          f(x1) +f(x2)
          2
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          關(guān)于函數(shù)f(x)=2sin(3x-
          3
          4
          π)
          ,有下列命題
          ①其最小正周期為
          2
          3
          π
          ;
          ②其圖象由y=2sin3x向右平移
          π
          4
          個單位而得到;
          ③其表達式寫成f(x)=2cos(3x+
          3
          4
          π)
          ;
          ④在x∈[
          π
          12
          5
          12
          π]
          為單調(diào)遞增函數(shù);
          則其中真命題為
           

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          關(guān)于函數(shù)f(x)=2x-
          12x
          (x∈R)
          .有下列三個結(jié)論:①f(x)的值域為R;②f(x)是R上的增函數(shù);③f(x)的圖象是中心對稱圖形,其中所有正確命題的序號是
           

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          關(guān)于函數(shù)f(x)=x+
          1
          x
          的性質(zhì),有如下說法:
          ①函數(shù)f(x)的最小值為3;
          ②函數(shù)f(x)為偶函數(shù);
          ③函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞).
          其中所有正確說法的個數(shù)為( 。

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          下列關(guān)于函數(shù)f(x)=
          1+x2
          +x-1
          1+x2
          +x+1
          的五個結(jié)論:
          ①函數(shù)f(x)的定義域是R
          ②函數(shù)f(x)的值域是(-1,1)
          ③函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
          ④函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)
          ⑤函數(shù)f(x)有極值
          其中正確結(jié)論的序號是
          ①②③④
          ①②③④

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          關(guān)于函數(shù)f(x)=cos2x-2
          3
          sinxcosx
          ,下列命題:
          ①若存在x1,x2有x1-x2=π時,f(x1)=f(x2)成立;   
          ②f(x)在區(qū)間[-
          π
          6
          ,
          π
          3
          ]
          上是單調(diào)遞增;    
          ③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(
          π
          12
          ,0)
          成中心對稱圖象;   
          ④將函數(shù)f(x)的圖象向左平移
          12
          個單位后將與y=2sin2x的圖象重合.
          其中正確的命題序號
          ①③
          ①③
          (注:把你認為正確的序號都填上)

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