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        1. 已知函數(shù)f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.
          (Ⅰ)當t=1時,求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
          (Ⅱ)當t≠0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
          (Ⅲ)證明:對任意的t∈(0,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.
          分析:(I)當t=1時,求出函數(shù)f(x),利用導數(shù)的幾何意義求出x=0處的切線的斜率,利用點斜式求出切線方程;
          (II)根據(jù)f'(0)=0,解得x=-t或x=
          t
          2
          ,討論t的正負,在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ(x)>0和fˊ(x)<0求出單調(diào)區(qū)間即可;
          (III)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分兩種情況討論,當
          t
          2
          ≥1與當0<
          t
          2
          <1時,研究函數(shù)的單調(diào)性,然后根據(jù)區(qū)間端點的符號進行判定對任意t∈(0,2),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點從而得到結(jié)論.
          解答:解:(I)當t=1時,f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0
          f'(x)=12x2+6x-6,f'(0)=-6,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程為y=-6x.
          (II)解:f'(x)=12x2+6tx-6t2,f'(0)=0,解得x=-t或x=
          t
          2

          ∵t≠0,以下分兩種情況討論:
          (1)若t<0,則
          t
          2
          <-t,∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,
          t
          2
          ),(-t,+∞);f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(
          t
          2
          ,-t)
          (2)若t>0,則
          t
          2
          >-t,∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-t),(
          t
          2
          ,+∞);f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(-t,
          t
          2

          (III)證明:由(II)可知,當t>0時,f(x)在(0,
          t
          2
          )內(nèi)單調(diào)遞減,在(
          t
          2
          ,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,以下分兩種情況討論:
          (1)當
          t
          2
          ≥1,即t≥2時,f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減.
          f(0)=t-1>0,f(1)=-6t2+4t+3≤-13<0
          所以對于任意t∈[2,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.
          (2)當0<
          t
          2
          <1,即0<t<2時,f(x)在(0,
          t
          2
          )內(nèi)單調(diào)遞減,在(
          t
          2
          ,1)內(nèi)單調(diào)遞增
          若t∈(0,1],f(
          t
          2
          )=-
          7
          4
          t3
          +t-1≤-
          7
          4
          t3
          <0,
          f(1)=)=-6t2+4t+3≥-2t+3>0
          所以f(x)在(
          t
          2
          ,1)內(nèi)存在零點.
          若t∈(1,2),f(
          t
          2
          )=-
          7
          4
          t3
          +t-1<-
          7
          4
          t3
          +1<0,
          f(0)=t-1>0∴f(x)在(0,
          t
          2
          )內(nèi)存在零點.
          所以,對任意t∈(0,2),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.
          綜上,對于任意t∈(0,+∞),f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)均存在零點.
          點評:本題主要考查了導數(shù)的幾何意義,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、曲線的切線方程、函數(shù)零點、解不等式等基礎(chǔ)知識,考查了計算能力和分類討論的思想.
          練習冊系列答案
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          4+
          1
          x2
          ,數(shù)列{an},點Pn(an,-
          1
          an+1
          )在曲線y=f(x)上(n∈N+),且a1=1,an>0.
          ( I)求數(shù)列{an}的通項公式;
          ( II)數(shù)列{bn}的前n項和為Tn且滿足bn=an2an+12,求Tn

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          (1,5)
          (1,5)

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          已知函數(shù)f(x)=
          4-x
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          (2)設(shè)全集U=R,求?U(A∩B);
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          已知函數(shù)f(x)=
          (4-
          a
          2
          )x+4,  x≤6
          ax-5,     x>6
          (a>0,a≠1),數(shù)列{an}滿足an=f(n)(n∈N*),且{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實數(shù)a的取值范圍( 。

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