Question

已知首項(xiàng)不為零的數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)任意的r，t∈N^*，都有

Sr

St

=( 

r

t

 )2．
（Ⅰ）判斷數(shù)列{a_n}是否為等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}的第n項(xiàng)b_n是數(shù)列{a_n}的第b_n-1項(xiàng)（n≥2，n∈N^*），且a₁=1，b₁=3，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析：（I）因?yàn)橐阎�前n項(xiàng)和可求得通項(xiàng)用通項(xiàng)公式法判斷；
（II）由（I）知a_n=2n-1，則根據(jù)題意得出b_n與b_n-1間的關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列b_n-1，求得b_n進(jìn)而求得T_n

解答：解：（Ⅰ）令t=1，r=n，得

Sn

S1

=n2，于是S_n=n²a₁．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2n-1）a₁；
當(dāng)n=1時(shí)，S₁=a₁也適合上式．
綜上知，a_n=（2n-1）a₁．
所以a_n-a_n-1=2a₁．
故數(shù)列{a_n}是公差d=2a₁的等差數(shù)列．
（Ⅱ）當(dāng)a₁=1時(shí)，由（Ⅰ）知，a_n=2n-1．
于是b_n=2b_n-1-1，即b_n-1=2（b_n-1-1）．
因此數(shù)列{b_n-1}是首項(xiàng)為b₁-1=2，公比為2的等比數(shù)列，所以b_n-1=2×2^n-1=2ⁿ．即b_n=2ⁿ+1．
故Tn=b1+b1++bn=( 21+22++2n )+n=

2 ( 1-2n )

1-2

+n=2n+1+n-2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查a_n與S_n的關(guān)系，等差數(shù)列，等比數(shù)列等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查分析問題和解決問題的能力