Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4．
（1）求證：AB⊥BC₁；
（2）求二面角C₁-AB-C的大��；
（3）在AB上是否存在點D，使得AC₁∥平面CDB₁，若存在，試給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AC，BC，CC₁兩兩垂直，建立如圖以C為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，寫出要用的點的坐標(biāo)，根據(jù)兩個向量的數(shù)量級等于0，證出兩條線段垂直．
（2）根據(jù)所給的兩個平面的法向量一個可以直接看出另一個設(shè)出根據(jù)數(shù)量級等于0，求出結(jié)果，根據(jù)兩個平面的法向量所成的角求出兩個平面所成的角．
（3）存在點D使AC₁∥平面CDB₁，且D為AB中點，設(shè)BC₁與CB₁交于點O，則O為BC₁中點．在△ABC₁中，連接OD，D，O分別為AB，BC₁的中點，故OD為△ABC₁的中位線，根據(jù)線線平行得到線面平行．

解答：解∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC，BC，CC₁兩兩垂直．
如圖以C為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則C（0，0，0），A（3，0，0），C₁（0，0，4），B（0，4，0），B₁（0，4，4）． …（2分）
（1）∵

AC

=(-3，0，0)，

BC1

=(0，-4，4)，
∴

AC

•

BC1

=0，故AC⊥BC₁…（4分）
（2）平面ABC的一個法向量為

m

=（0，0，1），
設(shè)平面C₁AB的一個法向量為

n

=（x₀y₀z₀），

AC1

=(-3，0，4)，

AB

=(-3，4，0)，
由

n • AC1 =0 n • AB =0

，

-3x0+4z0=0 -3x0+4y0=0

…（6分）
令x₀=4，則z₀=3，y₀=3則

n

=（4，3，3）．…（7分）
故cos＜m，n＞=

3

34

=

3

34

34

．所求二面角的大小為  arccos

3

34

34

．…（8分）
（3）存在點D使AC₁∥平面CDB₁，且D為AB中點，下面給出證明．…（9分）
設(shè)BC₁與CB₁交于點O，則O為BC₁中點．
在△ABC₁中，連接OD，D，O分別為AB，BC₁的中點，故OD為△ABC₁的中位線，…（10分）
∴OD∥AC₁，又AC₁?平面CDB₁，OD?平面CDB₁，∴AC₁∥平面CDB₁．  …（12分）
故存在點D為AB中點，使AC₁∥平面CDB₁．

點評：本題考查直線與平面平行的判斷，本題的關(guān)鍵是在平面上找出與直線平行的直線，根據(jù)有中點找中點的方法來解答．