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        1. 已知拋物線方程為y2=2px(p>0).
          (1)若點在拋物線上,求拋物線的焦點F的坐標和準線l的方程;
          (2)在(1)的條件下,若過焦點F且傾斜角為60°的直線m交拋物線于A、B兩點,點M在拋物線的準線l上,直線MA、MF、MB的斜率分別記為kMA、kMF、kMB,求證:kMA、kMF、kMB成等差數(shù)列;
          (3)對(2)中的結(jié)論加以推廣,使得(2)中的結(jié)論成為推廣后命題的特例,請寫出推廣命題,并給予證明.
          說明:第(3)題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給予不同的評分.
          【答案】分析:(1)由在拋物線上,得p=2,由此能導出拋物線的焦點F的坐標和準線l的方程.
          (2)拋物線的方程為y2=4x,過焦點F(1,0)且傾斜角為60°的直線m的方程為,由可得3x2-10x+3=0,解得點A、B的坐標為,由此能導出kMA、kMF、kMB成等差數(shù)列.
          (3)①推廣命題:若拋物線的方程為y2=4x,過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點,M為拋物線準線上的一點,直線MA、MF、MB的斜率分別記為kMA、kMF、kMB,則kMA、kMF、kMB成等差數(shù)列.再由拋物線的性質(zhì)和韋達定理進行證明.
          ②推廣命題:若拋物線的方程為y2=2px(p>0),過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點,M為拋物線準線上的一點,直線MA、MF、MB的斜率分別記為kMA、kMF、kMB,則kMA、kMF、kMB成等差數(shù)列.再由拋物線的性質(zhì)結(jié)合分類討論思想進行證明.
          解答:解:(1)∵在拋物線上,由得p=2
          ∴拋物線的焦點坐標為F(1,0),
          準線l的方程為x=-1
          (2)證明:∵拋物線的方程為y2=4x,過焦點F(1,0)且傾斜角為60°的直線m的方程為
          可得3x2-10x+3=0
          解得點A、B的坐標為
          ∵拋物線的準線方程為x=-1,設(shè)點M的坐標為M(-1,t),
          ,,,

          知kMA、kMF、kMB成等差數(shù)列.
          (3)本小題可根考生不同的答題情況給予評分
          ①推廣命題:若拋物線的方程為y2=4x,過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點,M為拋物線準線上的一點,直線MA、MF、MB的斜率分別記為kMA、kMF、kMB,則kMA、kMF、kMB成等差數(shù)列.
          證明:
          拋物線y2=4x的焦點坐標為F(1,0),當直線l1平行于y軸時,
          由(2)知命題成立.
          設(shè)M點坐標為M(-1,t)
          當直線m不平行于y軸時,設(shè)m的方程為y=k(x-1),其與拋物線的交點坐標為A(x1,y1)、B(x2,y2),則有,
          得ky2-4y-4k=0,即y1y2=-4=,∴kMA+kMB=2kMF,即kMA、kMF、kMB成等差數(shù)列
          ②推廣命題:若拋物線的方程為y2=2px(p>0),過焦點F的直線m交拋物線于A、B兩點,M為拋物線準線上的一點,直線MA、MF、MB的斜率分別記為kMA、kMF、kMB,則kMA、kMF、kMB成等差數(shù)列.
          證明:拋物線的焦點F的坐標為,準線方程為,設(shè)M點坐標為
          設(shè)m與拋物線的交點坐標為A(x1,y1)、B(x2,y2),則有,
          (。┊斨本m平行于y軸時,直線m的方程為,
          此時有,∴y1y2=-p2
          (ⅱ)當直線m不平行于y軸時,直線m的方程可設(shè)為
          ∴y1y2=-p2,=,
          ∴kMA+kMB=2kMF,即kMA、kMF、kMB成等差數(shù)列
          點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
          練習冊系列答案
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          已知拋物線方程為y2=2px(p>0).
          (1)若點(2,2
          2
          )
          在拋物線上,求拋物線的焦點F的坐標和準線l的方程;
          (2)在(1)的條件下,若過焦點F且傾斜角為60°的直線m交拋物線于A、B兩點,點M在拋物線的準線l上,直線MA、MF、MB的斜率分別記為kMA、kMF、kMB,求證:kMA、kMF、kMB成等差數(shù)列;
          (3)對(2)中的結(jié)論加以推廣,使得(2)中的結(jié)論成為推廣后命題的特例,請寫出推廣命題,并給予證明.
          說明:第(3)題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給予不同的評分.

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          (1)寫出直線l1方程
          (2)求CD的長度.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          已知拋物線方程為y2=2px(p>0).
          (Ⅰ)若點(2,2
          2
          )在拋物線上,求拋物線的焦點F的坐標和準線l的方程;
          (Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,若過焦點F且傾斜角為60°的直線m交拋物線于A、B兩點,點M在拋物線的準線l上,直線MA、MF、MB的斜率分別記為kMA、kMF、kMB,求證:kMA、kMF、kMB成等差數(shù)列.

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