Question

若橢圓的對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)組成一個(gè)正三角形，焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為

3

，則這個(gè)橢圓的方程為（　�。�

• A、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1
• B、

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1
• C、

  x2

  12

  +

  y2

  9

  =1或

  x2

  9

  +

  y2

  12

  =1
• D、以上都不對(duì)

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的基本概念與正三角形的性質(zhì)，可得b=

3

c．再由橢圓焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為a-c=

3

，聯(lián)解得出a、b、c的值，即可得到所求橢圓的方程．

解答：解：設(shè)短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，左右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，
∵△PF₁F₂為正三角形，
∴|OP|=

3

2

|F₁F₂|，可得b=

3

c，即

a2-c2

=

3

c．…①
又∵橢圓的焦點(diǎn)到橢圓上點(diǎn)的最短距離為

3

，
∴a-c=

3

，…②
聯(lián)解①②，可得a=2

3

，c=

3

，b=

a2-c2

=3．
因此a²=12且b²=9，可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

12

+

y2

9

=1或

x2

9

+

y2

12

=1．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題已知橢圓滿足的條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．著重考查了正三角形的性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．