Question

如圖,已知直線l與拋物線x²=4y相切于點(diǎn)P(2,1),且與x軸交于點(diǎn)A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0),(1)若動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足,求點(diǎn)M的軌跡C;(2)若過(guò)點(diǎn)B的直線l′(斜率不等于零）與(1)中的軌跡C交于不同的兩點(diǎn)E,F(E在B,F之間)試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（I）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2的橢圓；（II）△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）.

【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以得出直線的方程，從而得出A坐標(biāo)，再設(shè)設(shè)帶入已知條件得出x,y的關(guān)系式；直線與橢圓的關(guān)系通常聯(lián)立直線與橢圓方程得出關(guān)于x的一元二次方程，，結(jié)合韋達(dá)定理，

表達(dá)出△OBE與△OBF面積之比的代數(shù)式。

解：（I）由，  

∴直線l的斜率為，故l的方程為，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，0）設(shè)    則，

由得 整理，得 

∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡C為以原點(diǎn)為中心，焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為2的橢圓

（II）如圖，由題意知直線l的斜率存在且不為零，設(shè)l方程為y=k(x－2)(k≠0)①

將①代入，整理，得

，

由△>0得0<k²<0.5.   設(shè)E(x₁，y₁)，F(xiàn)(x₂，y₂)

則 ②   令，

由此可得由②知

.

∴△OBE與△OBF面積之比的取值范圍是（3－2，1）