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        1. 橢圓
          X2
          25
          +
          Y2
          9
          =1
          上不同三點A(x1,y1),B(4,
          9
          5
          ),C(x2y2)
          與焦點F(4,0)的距離成等差數(shù)列.
          (1)求證x1+x2=8;
          (2)若線段的垂直平分線與軸的交點為T,求直線的斜率.
          分析:(1)由橢圓方程知a=5,b=4,c=3.由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知:
          |AF|
          a2
          c
          -x1
          =
          c
          a
          ,|AF|=a-ex1=5-
          4
          5
          x1.同理|CF|=5-
          4
          5
          x2.由此能夠證明即x1+x2=8.
          (2)因為線段AC的中點為(4,
          y1+y2
          2
          ),所以它的垂直平分線方程為y-
          y1+y2
          2
          =
          x1-x2
          y1-y2
          (x-4),由點T在x軸上,設(shè)其坐標為(x0,0),代入上式x0-4=
          y
          2
          1
          -
          y
          2
          2
          2(x1-x2)
          ,再由點A(x1,y1),B(x2,y2),都在橢圓上,知y22=
          9
          25
          (25-x22),由此能求出直線的斜率.
          解答:(1)證明:由橢圓方程知a=5,b=3,c=4.
          由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知:
          |AF|
          a2
          c
          -x1
          =
          c
          a
          ,
          ∴|AF|=a-ex1=5-
          4
          5
          x1.  同理|CF|=5-
          4
          5
          x2
          ∵|AF|+|CF|=2|BF|,且|BF|=
          9
          5

          ∴(5-
          4
          5
          x1)+(5-
          4
          5
          x2)=
          18
          5
          ,即x1+x2=8.
          (2)解:因為線段AC的中點為(4,
          y1+y2
          2
          ),所以它的垂直平分線方程為
          y-
          y1+y2
          2
          =-
          x1-x2
          y1-y2
          (x-4)
          又∵點T在x軸上,設(shè)其坐標為(x0,0),代入上式x0-4=
          y
          2
          1
          -
          y
          2
          2
          2(x1-x2)

          又∵點A(x1,y1),B(x2,y2),都在橢圓上,
          ∴y22=
          9
          25
          (25-x22
          ∴y12-y22=-
          9
          25
          (x1+x2)(x1-x2).
          將此式代入①,并利用x1+x2=8的結(jié)論得x0-4=-
          36
          25
          ,KBT=
          9
          5
          -0
          4-x0
          =
          5
          4
          點評:本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力,具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識,解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          在平面直角坐標系xOy中,已知△ABC頂點A(-4,0)和C(4,0),頂點B在橢圓
          x2
          25
          +
          y2
          9
          =1
          上,則
          sinA+sinC
          sinB
          =
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)P是橢圓
          x2
          25
          +
          y2
          9
          =1
          上一點,M、N分別是兩圓:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的點,則|PM|+|PN|的最小值與最大值的積為
          96
          96

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          橢圓
          x2
          25
          +
          y2
          9
          =1
          的焦點F1,F(xiàn)2,AB是橢圓過焦點F1的弦,則△ABF2的周長是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)F1、F2,分別是橢圓
          x2
          25
          -
          y2
          9
          =1
          的左、右焦點,點P在橢圓上,若|PF1|=9|PF2|,則P點的坐標為
          (5,0)
          (5,0)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          有下列五個命題:
          ①“若x+y=0,則x,y互為相反數(shù)”的逆命題.
          ②在平面內(nèi),F(xiàn)1、F2是定點,丨F1F2丨=6,動點M滿足丨MF1丨-丨MF2丨=4,則點M的軌跡是雙曲線.
          ③“在△ABC中,“∠B=60°”是“∠A,∠B,∠C三個角成等差數(shù)列”的充要條件.
          ④“若-3<m<5,則方程
          x2
          5-m
          +
          y2
          m+3
          =1是橢圓”.
          ⑤已知向量
          a
          ,
          b
          ,
          c
          是空間的一個基底,則向量
          a
          +
          b
          ,
          a
          -
          b
          ,
          c
          也是空間的一個基底.
          ⑥橢圓
          x2
          25
          +
          y2
          9
          =1上一點P到一個焦點的距離為5,則P到另一個焦點的距離為5.
          其中真命題的序號是
          ①③⑤⑥
          ①③⑤⑥

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          同步練習(xí)冊答案