Question

已知函數(shù)f(x)是(-∞,+∞)上的增函數(shù),a,b∈R，對命題“若a+b≥0,則f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.

(1)寫出其逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論;

(2)寫出其逆否命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解析：利用四種命題的定義.

解：(1)逆命題是：若,則a+b≥0,真命題.

用反證法證明：假設(shè)a+b＜0,則a＜-b,b＜-a.

∵是(-∞,+∞)上的增函數(shù)，則,，

∴.這與題設(shè)相矛盾，

∴逆命題為真.

(2)逆否命題：若,則a+b＜0,真命題.

∵一個命題?它的逆否命題，∴可證明原命題為真命題.

∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.

又∵在(-∞,+∞)上為增函數(shù)，

∴,.

∴.

∴逆否命題為真.

點評：互為逆否命題的兩個命題，在證明一個的真假性時，可證明它的等價命題.