Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，漸近線l₁上一點P（

3

3

，

6

3

）滿足：直線PF與漸近線l₁垂直．       
（1）求該雙曲線方程；
（2）設A、B為雙曲線上兩點，若點N（1，2）是線段AB的中點，求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）先由雙曲線方程求出漸近線方程，再聯(lián)立求交點坐標，與P（

3

3

，

6

3

）為同一點，可求出a，b值，則雙曲線方程可求．
（2）依題意，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），可設直線AB的方程為y=k（x-1）+2，代入雙曲線方程，化簡可得（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2=0①，由根與系數(shù)的關系，可得x₁+x₂=

2k(2-k)

2-k2

，而已知N（1，2）是AB的中點得

1

2

（x₁+x₂）=1，聯(lián)立可得k的值，即可得直線的方程．

解答：解：（1）設F（c，0），l₁：y=

b

a

x，
解方程組

y= b a x x2 a2 - y2 b2 =1

得P（

a2

c

，

ab

c

）
又已知P（

3

3

，

6

3

）．
∴

a2 c = 3 3 ab c = 6 3

，又a²=b²+c²，
∴a=1，b=

2

，c=

3

∴雙曲線方程為x²-

y2

2

=1
（2）依題意，記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可設直線AB的方程為y=k（x-1）+2，
代入x²-

y2

2

=1，整理得（2-k²）x²-2k（2-k）x-（2-k）²-2=0①
x₁，x₂則是方程①的兩個不同的根，
所以2-k²≠0，且x₁+x₂=

2k(2-k)

2-k2

，
由N（1，2）是AB的中點得

1

2

（x₁+x₂）=1，
∴k（2-k）=2-k²，
解得k=1，
所以直線AB的方程為y=x+1．

點評：本題主要考查直線與雙曲線的位置關系，用到求交點坐標，以及方程思想，做題時認真分析，找到正確解法．