Question

已知圓x²＋y²－6mx－2(m－1)y＋10m²－2m－24＝0(m∈R)．

(1)求證不論m為何值，圓心在同一直線l上．

(2)求與l平行的直線中，哪些與圓相交、相切、相離？

(3)求證：任何一條平行于l且與圓相交的直線中被圓截得的弦長相等．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)將圓的方程化為：(x－3m)2＋[y－(m－1)]2＝25，設(shè)圓心為C(x，y)， 　　則 　　消去m得l：x－3y－3＝0． 　　∴不論m為何值，圓心在同一直線l：x－3y－3＝0上． 　　(2)設(shè)與l平行的直線是l：x－3y＋b＝0，則圓心到直線l的距離為 　　d＝． 　　∵圓的半徑r＝5， 　　∴當d＜r時，即－3＜b＜－3，直線與l相交； 　　當b＝±－3時，直線與圓相切；當d＞r時，即b＜－3或b＞－3時，直線與圓相離． 　　(3)對于任一條平行于l且與圓相交的直線l1：x－3y＋b＝0，由圓心到直線l的距離d＝，從而弦長等于與m無關(guān)，故結(jié)論成立．

提示：

通過消參數(shù)m得出直線l的方程，利用幾何關(guān)系尋找相交、相切、相離的直線．