Question

已知函數(shù)．先把y=f（x）的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）寫出函數(shù)g（x）的解析式；
（2）已知，，求f（2α）的值；
（3）設(shè)g₁（x），g₂（x）是定義域?yàn)镽的兩個(gè)函數(shù)，滿足g₂（x）=g₁（x+θ），其中θ是常數(shù)，且θ∈[0，π]．請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)函數(shù)y=g₁（x），給出一個(gè)相應(yīng)的θ值，使得g（x）=g₁（x）•g₂（x）．并予以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖形變換，寫出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)α的取值范圍求出sin2α，cos2α的值，再求f（2α）；
（3）構(gòu)造g₁（x）=cosx+sinx，，直接代入驗(yàn)證即可．
解答：解：（1）g（x）=cos2x．…（2分）
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131101225056287273661/SYS201311012250562872736026_DA/1.png">，，所以，
所以，…（4分），則，…（5分），則，…（6分）
所以．…（7分）
（3）令g₁（x）=cosx+sinx，，…（9分）
則g₁（x）•g₂（x）=（cosx+sinx）（-sinx+cosx）=cos²x-sin²x=cos2x…（10分）
（注：令，；，θ=π等相應(yīng)給分．）（只構(gòu)造不證明本小問不得分．）
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的圖象變換，二倍角公式，以及構(gòu)造三角函數(shù)，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題型．