Question

設函數(shù)f（x）的定義域是R，對于任意實數(shù)m，n，恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1．
（1）求證：f（0）=1，且當x＜0時，有f（x）＞1；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性；
（3）設集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＞f（1）}，B={（x，y）|f（ax-y+2）=1，a∈R}，若A∩B=∅，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用賦值法證明f（0）=1，因為f（m+n）=f（m）f（n），且當x＞0時，0＜f（x）＜1，利用賦值法，只需令m=x＜0，n=-x＞0，即可證明當x＜0時，有f（x）＞1．
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷，只需設R上x₁，x₂，且x₁＜x₂，再作差比較f（x₂）與f（x₁）的大小即可．
（3）先判斷集合A，B分別表示什么集合，兩個集合都是點集，A表示圓心在（0，0），半徑是1的圓的內(nèi)部，B表示直線ax-y+2=0，因為A∩B=∅，所以直線與圓內(nèi)部沒有交點，直線與圓相離或相切，再據(jù)此求出參數(shù)的范圍．

解答：解：（1）證明：∵f（m+n）=f（m）f（n），令m=1，n=0，則f（1）=f（1）f（0），
且由x＞0時，0＜f（x）＜1，∴f（1）＞0∴f（0）=1；
設m=x＜0，n=-x＞0，∴f（0）=f（x）f（-x），∴f（x）=

1

f(-x)

∵-x＞0，∴0＜f（-x）＜1，∴

1

f(-x)

＞1．
即當x＜0時，有f（x）＞1．
（2）設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，∴0＜f（x₂-x₁）＜1，
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）
=f（x₂-x₁）f（x₁）-f（x₁）=f（x₁）[f（x₂-x₁）-1]＜0，
 當m=n時，f（2n）=f（n）f（n）=f（n）²≥0，
所以當x∈R，f（x）≥0，所以f（x₁）≥0，
所以f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂＞f（x₁），
∴f（x）在R上單調(diào)遞減．
（3）∵f（x²）f（y²）＞f（1），
∴f（x²+y²）＞f（1），由f（x）單調(diào)性知x²+y²＜1，
又f（ax-y+2）=1=f（0），
∴ax-y+2=0，
又A∩B=∅，∴

2

a2+1

≥1，
∴a²+1≤4，從而-

3

≤a≤

3

．

點評：本題主要考查了賦值法求抽象函數(shù)的函數(shù)值，以及抽象函數(shù)單調(diào)性的證明，利用集合關系判斷直線與圓的位置關系．