Question

設函數(shù)f（x）=2x³+3ax²+3bx+8c在x=1及x=2時取得極值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若對任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．
（2）若對任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立?f（x）_max＜c²在區(qū)間[0，3]上成立，根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)在[0，3]上的最大值，進一步求c的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=6x²+6ax+3b，
因為函數(shù)f（x）在x=1及x=2取得極值，則有f'（1）=0，f'（2）=0．
即

6+6a+3b=0 24+12a+3b=0

解得a=-3，b=4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f（x）=2x³-9x²+12x+8c，f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
當x∈（0，1）時，f'（x）＞0；
當x∈（1，2）時，f'（x）＜0；
當x∈（2，3）時，f'（x）＞0．
所以，當x=1時，f（x）取得極大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c．
則當x∈[0，3]時，f（x）的最大值為f（3）=9+8c．
因為對于任意的x∈[0，3]，有f（x）＜c²恒成立，
所以9+8c＜c²，
解得c＜-1或c＞9，
因此c的取值范圍為（-∞，-1）∪（9，+∞）．

點評：本題考查了導數(shù)的應用：函數(shù)在某點存在極值的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題題，而函數(shù)①f（x）＜c²在區(qū)間[a，b]上恒成立與②存在x∈[a，b]，使得f（x）＜c²是不同的問題．①?f（x）_max＜c²，②?f（x）_min＜c²，在解題時要準確判斷是“恒成立”問題還是“存在”問題．在解題時還要體會“轉(zhuǎn)化思想”及“方程與函數(shù)不等式”的思想的應用．