Question

已知函數(shù)f(x)＝－x³＋x²－2x(a∈R)．

(1)當(dāng)a＝3時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若對(duì)于任意x∈[1，＋∞)都有(x)＜2(a－1)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若過(guò)點(diǎn)(0，－)可作函數(shù)y＝f(x)圖象的三條不同切線，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當(dāng)時(shí)，，得；1分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4809/0021/7a3d886b401e8b3848f37be921b1fce0/C/Image196.gif" width=246 height=26>， 　　所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增； 　　當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減． 　　所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和．3分 　　(2)方法1：由，得， 　　因?yàn)閷?duì)于任意都有成立， 　　即對(duì)于任意都有成立， 　　即對(duì)于任意都有成立，4分 　　令， 　　要使對(duì)任意都有成立， 　　必須滿足或；5分 　　即或；6分 　　所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．7分 　　方法2：由，得， 　　因?yàn)閷?duì)于任意都有成立， 　　所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于任意都有；4分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4809/0021/7a3d886b401e8b3848f37be921b1fce0/C/Image221.gif" width=178 height=49>，其圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為． 　�、佼�(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減， 　　所以， 　　由，得，此時(shí)；5分 　　②當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，由，得，此時(shí)；6分 　　綜上①②可得，實(shí)數(shù)的取值范圍為；7分 　　(3)設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的切點(diǎn)， 　　則過(guò)點(diǎn)的切線的斜率為，8分 　　所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為；9分 　　因?yàn)辄c(diǎn)在切線上， 　　所以， 　　即；10分 　　若過(guò)點(diǎn)可作函數(shù)圖象的三條不同切線， 　　則方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解．11分 　　令，則函數(shù)與軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)． 　　令，解得或．12分 　　因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/4809/0021/7a3d886b401e8b3848f37be921b1fce0/C/Image254.gif" width=62 height=41>，， 　　所以必須，即；13分 　　所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；14分