Question

(2005福建，20)如下圖，直二面角D—AB—E中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，AE=EB，F為CE上的點，且BF⊥平面ACE．

(1)求證AE⊥平面BCE；

(2)求二面角B—AC—E的大小；

(3)求點D到平面ACE的距離．

Answer 1

答案：略
解析：

解析(1)∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE．∵二面角D—AB—E為直二面角，且CB⊥AB，∴CB⊥平面ABE，∴CB⊥AE，∴AE⊥平面BCE． (2)以線段AB的中點為原點O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過O點平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標系O－xyz，如下圖．因為AE⊥面BCE，BE面BCE，所以AE⊥BE，在Rt△AEB中，AB=2，O為AB的中點，故OE=1．于是A(0，－l，0)，E(1，0，0)，C(0，1，2)． ，．設(shè)平面AEC的一個法向量為n=(x，y，z)，則即 解得令y=－1，得n=(1，－1，1)是平面AEC的一個法向量．又平面BAC的一個法向量為m=(1，0，0)， 故． ∴二面角B—AC—E的大小為． (3)∵AD∥z軸，AD=2，故． ∴點D到平面ACE的距離 ．

提示：

剖析：1．在平面BCE內(nèi)尋找兩條相交直線都與AE垂直，結(jié)合題設(shè)可知，BF和BC即是． 2．找二面角B—AC—E的平面角． ∵BF⊥平面AEC，只需作BG⊥AC于G，連FG即可；而ABCD為正方形，所以G為AC和BD的交點． 3．用體積法較方便．