Question

對(duì)于四面體ABCD，下列命題正確的序號(hào)是    ．
①相對(duì)棱AB與CD所在的直線(xiàn)異面；
②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD的三條高線(xiàn)的交點(diǎn)；
③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在直線(xiàn)異面；
④分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線(xiàn)，所得的三條線(xiàn)段相交于一點(diǎn)；
⑤最長(zhǎng)棱必有某個(gè)端點(diǎn)，由它引出的另兩條棱的長(zhǎng)度之和大于最長(zhǎng)棱．

Answer 1

【答案】分析：①根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征判斷．②根據(jù)對(duì)棱不一定相互垂直判斷．③可由正四面體時(shí)來(lái)判斷．④由棱中點(diǎn)兩兩連接構(gòu)成平行四邊形判斷．⑤根據(jù)兩邊之和大于第三邊判斷．
解答：解：①根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征知正確．
②因?yàn)橹挥袑?duì)棱相互垂直才行，所以不一定，不正確．
③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，若是正四面體時(shí)，則兩直線(xiàn)相交，不正確．
④因?yàn)橄鄬?duì)棱中點(diǎn)兩兩連接構(gòu)成平行四邊形，而對(duì)棱的中點(diǎn)的連接正是平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)，所以三條線(xiàn)段相交于一點(diǎn)，故正確．
⑤ 設(shè)圖中CD是最長(zhǎng)邊．
BC+BD＞CD，AC+AD＞CD
若AC+BC≤CD 且AD+BD≤CD
則AC+AD+BC+BD≤CD+CD，矛盾
則命題成立．
故答案為：①④⑤
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)作高，取中點(diǎn)連線(xiàn)，來(lái)增加考查的難度，即全面又靈活，是一道好題，屬中檔題．