Question

【題目】已知中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為 的橢圓過點（ ， ）．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)不過原點O的直線l與該橢圓交于P，Q兩點，滿足直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，求△OPQ面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可設(shè)橢圓方程為 （a＞b＞0），則

則 故

所以，橢圓方程為

（2）解：由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，

故可設(shè)直線l的方程為y=kx+m（m≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

由 消去y得

（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，

則△=64k2b2﹣16（1+4k2b2）（b2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，

且 ， ．

故y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2．

因為直線OP，PQ，OQ的斜率依次成等比數(shù)列，

所以 =k2，

即 +m2=0，又m≠0，

所以k2= ，即k= ．

由于直線OP，OQ的斜率存在，且△＞0，得

0＜m2＜2且m2≠1．

設(shè)d為點O到直線l的距離，

則S△OPQ= d|PQ|= |x1﹣x2||m|= ，

所以S△OPQ的取值范圍為（0，1）

【解析】（1）設(shè)出橢圓的方程，將已知點代入橢圓的方程及利用橢圓的離心率公式得到關(guān)于橢圓的三個參數(shù)的等式，解方程組求出a，b，c的值，代入橢圓方程即可．（2）設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x得到關(guān)于y的二次方程，利用韋達定理得到關(guān)于兩個交點的坐標的關(guān)系，將直線OP，PQ，OQ的斜率用坐標表示，據(jù)已知三個斜率成等比數(shù)列，列出方程，將韋達定理得到的等式代入，求出k的值，利用判別式大于0得到m的范圍，將△OPQ面積用m表示，求出面積的范圍．