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        1. 設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x2-tx-2=0的兩個(gè)根為α、β(α<β).
          (1)若x1、x2為區(qū)間[α、β]上的兩個(gè)不同的點(diǎn),求證:4x1x2-t(x1+x2)-4<0.
          (2)設(shè)f(x)=
          4x-tx2+1
          ,f(x)在區(qū)間[α,β]上的最大值和最小值分別為fmax和fmin,g(t)=fmax-fmin,求g(t)的最小值.
          分析:(1)由二次函數(shù)圖象特點(diǎn)知,2x12-tx1-2≤0,2x22-tx2-2≤0,則2x12-tx1-2+2x22-tx2-2≤0,整理后使用不等式進(jìn)行放縮可得結(jié)論;
          (2)令f′(x)=0,可求得極值點(diǎn)為α,β,從而可知f(x)在[α,β]上的單調(diào)性,由單調(diào)性可求得最大值、最小值,借助韋達(dá)定理可表示出g(t),化簡后利用不等式可求得g(t)的最小值;
          解答:解:(1)由2>0,得y=2x2-tx-2的圖象開口向上,
          又x1、x2為區(qū)間[α、β]上的兩個(gè)不同點(diǎn),
          所以2x12-tx1-2≤0,2x22-tx2-2≤0,
          所以2x12-tx1-2+2x22-tx2-2≤0,即2(x12+x22)-t(x1+x2)-4≤0,
          因?yàn)?span id="qmnutkg" class="MathJye">x12+x22>2x1x2(x1≠x2),
          所以4x1x2-t(x1+x2)-4<2(x12+x22)-t(x1+x2)-4≤0,
          故4x1x2-t(x1+x2)-4<0.
          (2)對(duì)f(x)求導(dǎo):f′(x)=
          -2(2x2-tx-2)
          (x2+1)2

          令f′(x)=0,即2x2-tx-2=0,
          所以其極值點(diǎn)即是α,β,可知f(x)在[α,β]上遞增,
          f(x)max=f(β),f(x)min=f(α),
          g(t)=f(β)-f(α)=
          4β-t
          β2+1
          -
          4α-t
          α2+1

          =
          (α-β)[4αβ-t(α+β)-4]
          (α2+1)(β2+1)
          ,
          又α+β=
          t
          2
          ,αβ=-1,則4αβ-t(α+β)-4=-
          t2+16
          2
          ,
          (α2+1)(β2+1)=α2β2+(α+β)2-2αβ+1=
          t2+16
          4
          ,
          g(t)=2(β-α),
          (β-α)2=(α+β)2-4αβ=
          t2
          4
          +4
          ≥4,所以β-α≥2,
          所以g(t)=2(β-α)≥4,即g(t)的最小值為4.
          點(diǎn)評(píng):本題考查二次方程根的分布與系數(shù)的關(guān)系,考查不等式的證明,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查學(xué)生的計(jì)算能力,綜合性較強(qiáng).
          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.
          (1)若a是從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.
          (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù),求上述方程有實(shí)根的概率.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+4-b2=0.
          (1)如果a∈{0,1,2,3},b∈{0,1,2},求方程有實(shí)根的概率;
          (2)如果a∈[0,3],b∈[0,2],求方程有實(shí)根的概率;
          (3)由(2),并結(jié)合課本“撒豆子”試驗(yàn),請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)估算圓周率π的實(shí)驗(yàn),并給出計(jì)算公式.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+x+1=0(a>0)有兩個(gè)實(shí)根x1,x2
          (1)求(1+x1)(1+x2)的值;
          (2)求證:x1<-1,且x2<-1;
          (3)如果
          x1
          x2
          ∈[
          1
          10
          ,10]
          ,試求a的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)關(guān)于x的一元二次方程2x2-ax-2=0的兩根為α,β(其中α<β),函數(shù)f(x)=
          4x-ax2+1

          (1)若a=1,求f(α)+f(β)的值;
          (2)用單調(diào)性的定義證明f(x)在(α,β)上是增函數(shù).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0.若a是從區(qū)間[0,3]任取一個(gè)數(shù),b是從區(qū)間[0,2]任取一個(gè)數(shù),上述方程有實(shí)根的概率是( 。

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          同步練習(xí)冊(cè)答案