Question

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為的面積為，過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)被橢圓所截得的線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為 .

(I)求橢圓的方程;

(Ⅱ) 是橢圓上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn),且直線(xiàn)是線(xiàn)段延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn),且，的半徑為是的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為,求的最大值,并求出取得最大值時(shí)直線(xiàn)的斜率 .

Answer 1

【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）的最大值為，取得最大值時(shí)直線(xiàn)的斜率為.

【解析】分析：（Ⅰ）由已知，可得，解得設(shè)橢圓方程：，

當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，線(xiàn)段長(zhǎng)為；

當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)方程：，由弦長(zhǎng)公式可得的長(zhǎng)小于，

易知當(dāng)時(shí)，的最小值為，從而，由此得到橢圓的方程；（

Ⅱ）由（Ⅰ）知，，而的半徑，

又直線(xiàn)的方程為，可得 ，

由題意可知，要求的最大值，即求的最小值，由題意可知，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，換元后利用配方法可得

的最大值,以及取得最大值時(shí)直線(xiàn)的斜率 .

詳解：

（Ⅰ）由已知，可得.又由，可得，解得

設(shè)橢圓方程：，

當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，線(xiàn)段長(zhǎng)為；

當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)方程：，

由，得，從而

，

易知當(dāng)時(shí)，的最小值為，從而，因此，橢圓的方程為：.

（Ⅱ）由第（Ⅰ）問(wèn)知，，而的半徑，

又直線(xiàn)的方程為，由，得，

因此，

由題意可知，要求的最大值，即求的最小值

而

，令，則，

因此, ，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，

所以，因此，所以的最大值為.

綜上所述，的最大值為，取得最大值時(shí)直線(xiàn)的斜率為.