Question

（12分）如圖所示，四棱錐中，，，，

為的中點(diǎn)。

（I）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）求二面角的正弦值。

Answer 1

解析:（I）證明：取的中點(diǎn)，連結(jié)和，

則又，

四邊形為平行四邊形，

又平面，平面

 平面

（Ⅱ）以為原點(diǎn)，以所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖，則（0，0，0），B（0，1，0），C（2，2，0），D（2，0，0），

E（1，0，1），M（1，1，1），P（0，0，2），設(shè)直線與平面所成的角為，

      是中點(diǎn)， 

           面，  

      面即為面的法向量，

     

      。

      

（Ⅲ）設(shè)二面角的平面角為，平面的法向量為=（），

     則  

        不妨設(shè)則

      為平面的法向量，且

     

      

解法二：（I）同上；

（Ⅱ）連結(jié)，，是中點(diǎn)，。

      面 

      面

      就是直線與平面所成的角。

     

（Ⅲ）連結(jié)，取的中點(diǎn)，連結(jié)，過點(diǎn)作于連結(jié)，

     是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，且

      面    又   

     就是二面角的平面角，設(shè)為。

     在中，