Question

（本小題滿分14分）

      以知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交與兩點(diǎn)，且。

（1）       求橢圓的離心率；     

（2）       求直線AB的斜率；     

（3）       設(shè)點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，直線上有一點(diǎn)在的外接圓上，求的值     

Answer 1

解析：（1）解：由//且，得，從而

  整理，得，故離心率     

（2）解：由（I）得，所以橢圓的方程可寫為

  設(shè)直線AB的方程為，即.      

 由已知設(shè)，則它們的坐標(biāo)滿足方程組

消去y整理，得.

依題意，

而                 ①

                ②     

由題設(shè)知，點(diǎn)B為線段AE的中點(diǎn)，所以

                       ③

聯(lián)立①③解得，

將代入②中，解得.

(III)解法一：由（II）可知     

當(dāng)時(shí)，得，由已知得.

線段的垂直平分線l的方程為直線l與x軸

的交點(diǎn)是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.

直線的方程為，于是點(diǎn)H（m，n）的坐標(biāo)滿足方程組

  ， 由解得故

當(dāng)時(shí)，同理可得.      

解法二：由（II）可知

當(dāng)時(shí)，得,由已知得

由橢圓的對(duì)稱性可知B，，C三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)H（m，n）在的外接圓上，

且，所以四邊形為等腰梯形.

      由直線的方程為,知點(diǎn)H的坐標(biāo)為.

因?yàn)?IMG height=27 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090702/20090702173158045.gif' width=80>，所以，解得m=c（舍），或.

則，所以.      

當(dāng)時(shí)同理可得