Question

（2008•臨沂二模）設(shè)x=4是函數(shù)f（x）=（x²+ax+b）e^4-x（x∈R）的一個極值點(diǎn)；
（I）求a與b的關(guān)系式（用a表示b），并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)a＞0，g（x）=(a2+

33

4

)2x，若存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意可得f′（4）=0，即可用a表示b，通過對a分類討論，解出f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（II）利用（I）的結(jié)論即可得出函數(shù)f（x）的值域，利用函數(shù)g（x）的單調(diào)性即可得出值域，可得值域的交集=[m，n]．由存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立?|m-n|＜4，解出即可．

解答：解：（I）∵f'（x）=（2x+a-x²-ax-b）e^4-x=-[x²+（a-2）x+b-a]e^4-x
由f'（4）=0，得16+（a-2）4+b-a=0
即b=-3a-8，

∴f(x)=(x2+ax-3a-8)e4-x f′(x)=-[x2+(a-2)x-4a-8]

=-（x-4）（x+a+2）e^4-x

令f′(x)=0，得x1=4，x2=-a-2 ∵x=4是f(x)的極值點(diǎn)，故x1≠x2， 即a≠-6 當(dāng)a＜-6時，x1＜x2， 故f(x)在(-∞，4]上為減函數(shù)，在[4，-a-2]上為增函數(shù)，

在[-a-2，+∞）上為減函數(shù)．

當(dāng)a＞-6時，x1＞x2 故f(x)在(-∞，-a-2]上為減函數(shù)，在[-a-2，4]上為增函數(shù)

在[4，+∞）上為減函數(shù)．
（II）當(dāng)a＞0時，-a-2＜0，
∴f（x）在[0，4]上為增函數(shù)，在[4，5]上為減函數(shù)，

∵f(0)=be4=-(3a+8)e4＜0 f(5)=(25+5a-3a-8)e-1=(2a+17)e-1＞0

∴f（0）＜f（5），
f（4）=16+4a-3a-8=a+8，

∴f(x)在[0，5]上的值域是[-(3a+8)e4，a+8] 而g(x)=(a2+ 33 4 )2x在[0，5]上為增函數(shù)

∴值域為[a2+

33

4

，(a2+

33

4

)25]，
∵(a2+

33

4

)-(a+8)=(a-

1

2

)2≥0，
若存在ξ₁，ξ₂∈[0，5]使得|f（ξ₁）-g（ξ₂）|＜4成立．
只要(a2+

33

4

)-(a+8)＜4，

即(a- 1 2 )2＜4 又a＞0∴0＜a＜ 5 2

故a的取值范圍是(0，

5

2

)．

點(diǎn)評：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值、等價轉(zhuǎn)化等是解題的關(guān)鍵．