Question

已知橢圓C：  

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的上頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0，

3

)，離心率為

1

2

．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，A為橢圓左頂點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓右焦點(diǎn)，求

PA

•

PF

的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知條件分別求出a，b，c的值，從而確定橢圓方程．
（II）根據(jù)題意，設(shè)P（x，y）根據(jù)橢圓的方程，易得A₁、F₂的坐標(biāo)，將其代入

PA

•

PF

中，可得關(guān)于x、y的關(guān)系式，結(jié)合雙曲線的方程，可得

PA

•

PF

=

1

4

x²+x+1，由x的范圍，可得答案．

解答：解：（1）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由已知b=

3

， 

c

a

=

1

2

，
所以a=2， b=

3

， c=1，
得橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．

（Ⅱ）設(shè)P（x，y），
又A（-2，0），F(xiàn)（1，0），則

PA

=(-2-x，-y)，

PF

=(1-x，-y)，
∴

PA

•

PF

=(-2-x，-y)•(1-x，-y)=(x+2)(x-1)+y2
=x2+x-2+y2=

1

4

x2+x+1(-2≤x≤2)．
當(dāng)x=0時(shí)，取得最小值0，當(dāng)x=2時(shí)，取得最大值4，
∴

PA

•

PF

∈[0，4]

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的應(yīng)用、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等，涉及最值問題．最值問題解題的思路是先設(shè)出變量，表示出要求的表達(dá)式，結(jié)合圓錐曲線的方程，將其轉(zhuǎn)化為只含一個(gè)變量的關(guān)系式，進(jìn)而由不等式的性質(zhì)或函數(shù)的最值進(jìn)行計(jì)算．