Question

設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)不是奇函數(shù)；
（2）設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)，求與的值；
（3）在（2）條件下，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性，并求不等式的解集.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

解析試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/45/f/1oizg3.png" style="vertical-align:middle;" />，要證明函數(shù)不是奇函數(shù)，從奇函數(shù)的定義出發(fā)，可考慮選一個(gè)特殊值，滿足，若最簡(jiǎn)單；（2）由函數(shù)是奇函數(shù)，則有對(duì)函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)，都滿足，由此等式恒成立可得關(guān)于的等式求出，也可先用特殊數(shù)值求出，再進(jìn)行檢驗(yàn)；（3）先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再用定義法或?qū)��?shù)法證明，再解不等式，解不等式時(shí)可直接求解，也可利用函數(shù)單調(diào)性求解.
試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，
由，知函數(shù)不是奇函數(shù).
（2）由函數(shù)是奇函數(shù)，得，
即對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都成立，化簡(jiǎn)整理得
對(duì)定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)都成立
所以，所以或
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.
（3）由（2）可知
易判斷為R上的減函數(shù)，證明如下：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/dc/8/4dkm3.png" style="vertical-align:middle;" />，所以為R上的減函數(shù)；
由，不等式即為，由在R上的減函數(shù)可得，
所以不等式的解集為.
另解：由得，即，解得，所以.
（注：若沒有證明的單調(diào)性，直接解不等式，正確的給3分）
考點(diǎn)：函數(shù)的的單調(diào)性和奇偶性.