Question

（2012•雁江區(qū)一模）已知函數(shù)f（x）=m+log_ax（a＞0且a≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（8，2），點(diǎn)P（3，-1）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)Q在f（x）的圖象上．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=2f（x）-f（x-1），求g（x）的最小值及取得最小值時(shí)x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出點(diǎn)P關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)，然后把點(diǎn)（8，2）和P的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)f（x）的解析式聯(lián)立解方程組可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）把f（x）的解析式代入函數(shù)g（x）=2f（x）-f（x-1），整理后把得到的函數(shù)中對(duì)數(shù)式的真數(shù)運(yùn)用基本不等式求出最小值，然后借助于對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可求函數(shù)g（x）的最小值．

解答：解析：（Ⅰ）點(diǎn)P（3，-1）關(guān)于直線x=2的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（1，-1）
結(jié)合題設(shè)知，可得

f(8)=2 f(1)=-1

，即

m+loga8=2 m+loga1=-1

，
解得m=-1，a=2，故函數(shù)解析式為f（x）=-1+log₂x．
（Ⅱ）g（x）=2f（x）-f（x-1）=2（-1+log₂x）-[-1+log₂（x-1）]=log2

x2

x-1

-1（x＞1），
∵

x2

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)+1

x-1

=(x-1)+

1

x-1

+2≥2

(x-1)• 1 x-1

+2=4，
當(dāng)且僅當(dāng)x-1=

1

x-1

即x=2時(shí)，“=”成立，
而函數(shù)y=log₂x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則log2

x2

x-1

-1≥log24-1=1，
故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)g（x）取得最小值1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了利用基本不等式求函數(shù)最小值，利用基本不等式求最值一定要注意應(yīng)滿足的條件，即“一正、二定、三相等”，是中檔題．