Question

已知奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，當(dāng)0≤θ≤

π

2

時(shí)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)m，使f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞f（0）對所有的θ∈[0，

π

2

]均成立？若存在，求出所有適合條件的實(shí)數(shù)m；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：由題意，f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，f（0）=0，從而條件可變?yōu)?m-2mcosθ＞2sin²θ+2．根據(jù)題意，0≤θ≤

π

2

時(shí)，0≤cosθ≤1，令t=cosθ∈[0，1]，則問題等價(jià)于t∈[0，1]時(shí)，t²-mt+（2m-2）＞0恒成立，求m的取值范圍．令f（t）=t²-mt+（2m-2），此函數(shù)對應(yīng)的拋物線開口向上，對稱軸t=

m

2

，進(jìn)行分類討論：①當(dāng)此拋物線對稱軸t=

m

2

在區(qū)間[0，1]內(nèi)時(shí)，m∈[0，2]，函數(shù)最小值（2m-2）-

m2

4

＞0即可；②當(dāng)對稱軸在（-∞，0）時(shí)，m＜0，只要f（0）＞0即可；③當(dāng)對稱軸在（1，+∞）時(shí)，m＞2，只要f（1）＞0即可，由此可求出m的取值范圍

解答：解：由題意，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集
∴f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)
由f（0）=-f（-0），得f（0）=0
f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞f（0）=0
移向變形得f（4m-2mcosθ）＞f（2sin²θ+2）
∴由f（x）（-∞，+∞）上連續(xù)且為增函數(shù)，得
4m-2mcosθ＞2sin²θ+2
∴2cos²θ-4-2mcosθ+4m＞0
cos²θ-mcosθ+（2m-2）＞0
根據(jù)題意，0≤θ≤

π

2

時(shí)，0≤cosθ≤1
方法（1）
令t=cosθ∈[0，1]
則問題等價(jià)于t∈[0，1]時(shí)，t²-mt+（2m-2）＞0恒成立，求m的取值范圍
令f（t）=t²-mt+（2m-2），此函數(shù)對應(yīng)的拋物線開口向上，對稱軸t=

m

2

，
分類討論：
①當(dāng)此拋物線對稱軸t=

m

2

在區(qū)間[0，1]內(nèi)時(shí)，m∈[0，2]，
函數(shù)最小值（2m-2）-

m2

4

＞0即可，此時(shí)m²-8m+8＜0，
∴4-2

2

＜m≤2
②當(dāng)對稱軸在（-∞，0）時(shí)，m＜0，
只要f（0）＞0即可，此時(shí)2m-2＞0，推出m＞1，與m＜0矛盾，此情況不成立，舍去
③當(dāng)對稱軸在（1，+∞）時(shí)，m＞2，
只要f（1）＞0即可，此時(shí)1-m+2m-2=m-1＞0，推出m＞1，
∴m＞2
綜上所述，m的取值范圍是（4-2

2

，+∞）
方法（2）：參數(shù)分離法
由cos²θ-mcosθ+（2m-2）＞0，得cos²θ-2+m（2-cosθ）＞0，即m（2-cosθ）＞2-cos²θ
因?yàn)?≤cosθ≤1，所以m＞

2-cos2θ

2-cosθ

=

cos2θ-2

cosθ-2

．
因?yàn)?span id="ivkdor9" class="MathJye">

cos2θ-2

cosθ-2

=

(cosθ-2)2+4cosθ-6

cosθ-2

=

(cosθ-2)2+4(cosθ-2)+2

cosθ-2

=cosθ-2+

2

cosθ-2

+4，
因?yàn)?≤cosθ≤1，所以cosθ-2＜0，
所以原式=-[(2-cosθ)+

2

2-cosθ

]+4≤-2

(2-cosθ)? 2 2-cosθ

+4=4-2

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)2-cosθ=

2

2-cosθ

，即（2-cosθ）²=2，2-cosθ=

2

，cosθ=2-

2

時(shí)取等號．
所以

cos2θ-2

cosθ-2

的最大值為4-2

2

，所以m＞4-2

2

．
所以m的取值范圍是（4-2

2

，+∞）．

點(diǎn)評：本題將函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性融合一起，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題時(shí)，合理轉(zhuǎn)化，正確分類是關(guān)鍵．