Question

設(shè)數(shù)列{a_n}、{b_n} 滿足a₁=

1

2

，2na_n+1=（n+1）a_n且b_n=ln（1+a_n）+

1

2

a_n²，n∈N^*．
（I）求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（II）對(duì)一切n∈N^*，證明

2

an+2

＜

an

bn

成立．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)條件可知

an+1

n+1

=

1

2

×

an

n

，則數(shù)列{

an

n

}是以

a1

1

=

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列，從而求出

an

n

的通項(xiàng)公式，即可求出所求；
（II）欲證

2

an+2

＜

an

bn

即證2b_n＜a_n²+2a_n，即證b_n-

1

2

a_n²=ln（1+a_n）＜a_n，構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），然后利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性，從而證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：∵2na_n+1=（n+1）a_n
∴

an+1

n+1

=

1

2

×

an

n

∴數(shù)列{

an

n

}是以

a1

1

=

1

2

為首項(xiàng)，以

1

2

為公比的等比數(shù)列  …（4分）
∴

an

n

=

1

2

×(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
∴a_n=

n

2n

  …（6分）
（II）證明：

2

an+2

＜

an

bn

?2b_n＜a_n²+2a_n?2b_n-a_n²-2a_n＜0
?b_n-

1

2

a_n²-a_n＜0?b_n-

1

2

a_n²=ln（1+a_n）＜a_n，…（9分）
構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x（x≥0）
當(dāng)x＞0時(shí)，f'（x）=

1

1+x

-1=

-x

1+x

＜0  …（12分）
∴f（x）在x∈[0，+∞）內(nèi)為減函數(shù)
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜f（0）=0
∴l(xiāng)n（1+x）＜x（x＞0）注意到a_n＞0，
∴l(xiāng)n（1+a_n）＜a_n
∴對(duì)一切n∈N^*，證明

2

an+2

＜

an

bn

成立．       （14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)列與不等式的綜合，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算能力，推理論證的能力，屬于中檔題．