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        1. 已知橢圓=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,-1),且右焦點(diǎn)F到直線x-y+=0的距離為3.

          (Ⅰ)求該橢圓的方程;

          (Ⅱ)是否存在斜率不為0的直線l,使其與已知橢圓交于M、N兩點(diǎn),滿足AM⊥AN,且|AM|=|AN|.

          (Ⅲ)若斜率為k的直線l與橢圓交于M,N兩點(diǎn),使得|AM|=|AN|,求k的取值范圍.

          答案:
          解析:

          (Ⅰ)由已知b=1.

          又橢圓右焦點(diǎn)F(c,0)到直線x-y+=0的距離為

          =3.

          ∴c=

          可得=3.

          故橢圓的方程為=1.

          (Ⅱ)不存在.

          若存在直線l∶y=kx+m(k≠0)滿足條件,則建立方程組

          消去y,得()+6kmx+3()=0.…………①

          判別式 △=-4(+1)×3(-1)>0.

          0.……………②

          設(shè) M()、N(),MN的中點(diǎn)為B,

          由方程①及韋達(dá)定理,有

          由直線l的方程,得

          ∴MN中點(diǎn)B的坐標(biāo)為().

          又由|AM|=|AN|,有AB⊥MN,

          化簡(jiǎn)后得 m=

          于是中點(diǎn)B的坐標(biāo)為().

          不等式②可化為 (-12)×>0,

          即 9(+1)(1-)>0.

          解得 -1<k<1.(k≠0)

          若AM⊥AN,則|AB|=|MN|.

          ,

          =1.

          =0,與題設(shè)k≠0矛盾.

          故 滿足條件的直線l不存在.

          (Ⅲ)設(shè)直線l的方程為y=kx+m,

          建立方程組

          消去y,得=0,①

          判別式 △=>0,

          >0,②

          設(shè) ,MN的中點(diǎn)為B,

          由方程①及韋達(dá)定理,有

          代入直線l的方程,得

          ∴MN中點(diǎn)B的坐標(biāo)為().

          又由|AM|=|AN|,有 AB⊥MN,

          化簡(jiǎn)后得 m=,

          不等式②可化為 (-12)×>0,

          >0,

          解得 -1<k<1.

          故 直線l的斜率k的取值范圍為(-1,1).


          練習(xí)冊(cè)系列答案
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          [  ]

          A.
          B.
          C.
          D.

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          (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

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          (1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

          (2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明:k1·k2=1;

          (3)是否存在常數(shù)λ,使得|AB|+|CD|=λ|AB|·|CD|恒成立?若存在,求λ的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

           

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          (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

          (2)設(shè)直線PF1PF2的斜率分別為k1、k2.

          (ⅰ)證明:=2.

          (ⅱ)問(wèn)直線l上是否存在點(diǎn)P,使得直線OAOB、OCOD的斜率kOA、kOBkOC、kOD滿足kOAkOBkOCkOD=0?若存在,求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

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          如圖,已知橢圓=1(ab>0)的離心率為,以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)F1、F2為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為4(+1),一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn),設(shè)P為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn),直線PF1PF2與橢圓的交點(diǎn)分別為A、BCD.

          (1)求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;

          (2)設(shè)直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2,證明:k1·k2=1;

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