Question

如圖，兩海上航線相交于島A，若已知AB=100海里，甲漁船從A島撤離，沿AC方向以50海里/小時的速度行駛，同時乙巡航船從B碼頭出發(fā)，沿BA方向以v海里/小時的速度行駛，至A島即停止前行（甲船仍繼續(xù)行駛）（兩船的船長忽略不計），
（1）求甲、乙兩船的最近距離（用含v的式子表示）；
（2）若甲、乙兩船開始行駛到甲、乙兩船相距最近時所用時間為t₀小時，問v為何值時t₀最大？

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理，結合甲、乙兩船的行駛路程，可得二次函數，從而可得函數的最值，即甲、乙兩船的最近距離；
（2）利用基本不等式，即可求得結論．

解答：解：（1）設甲、乙兩船的距離為d，則
d²=（100-vt）²+（50t）²=（v²+2500）t²-200vt+10000（0≤t≤

100

v

）
∵0＜

100v

v2+2500

＜

100

v

，
∴當t=

100v

v2+2500

時，dmin=

5000

v2+2500

，
即甲、乙兩船的最近距離是

5000

v2+2500

海里；
（2）甲、乙兩船相距最近時，t=

100v

v2+2500

=

100

v+ 2500 v

≤1，此時v=50海里/小時
即當船速v=50海里/小時，甲、乙兩船相距最近，所用時間t₀最大，最大值為1小時．

點評：本題考查函數模型的構建，考查利用數學知識解決實際問題，考查學生的計算能力，屬于中檔題．