Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，若對于任意的x₁∈D，存在唯一x₂∈D的使

f(x1)+f(x2)

2

=C（C為常數(shù)），則稱函數(shù)f（x）在D上的均值為C．給出下列四個(gè)函數(shù)：①y=x²；②y=x；③y=2^x；④y=lgx；則滿足其在定義域上均值為2的所有函數(shù)是

 

（填寫序號）．

Answer 1

分析：首先分析題目求對于任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立的函數(shù)．
對于函數(shù)①y=x²，可直接取任意的x₁∈R，驗(yàn)證求出兩個(gè)的 x2=±

4- x 2 1

，即可得到成立．故①錯(cuò)；
對于函數(shù)②y=x，可直接取任意的x₁∈R，驗(yàn)證求出唯一的 x₂=4-x₁，即可得到成立．故②對．
對于函數(shù)③y=lgx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然成立．
對于函數(shù)④y=2^x，特殊值法代入驗(yàn)證不成立成立．即可得到答案．

解答：解：對于函數(shù)①y=x²，取任意的x₁∈R，

f(x1)+f(x2)

2

=

x 2 1 + x 2 2

2

=2，x2=±

4- x 1 2

，可以兩個(gè)的x₂∈D．故不滿足條件．
對于函數(shù)②y=x，可直接取任意的x₁∈R，驗(yàn)證求出唯一的 x₂=4-x₁，即可得到成立．故②對．
對于函數(shù)③y=2^x定義域?yàn)镽，值域?yàn)閥＞0．對于x₁=3，f（x₁）=8．要使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立，則f（x₂）=-4，不成立．
對于函數(shù)④y=lgx，定義域?yàn)閤＞0，值域?yàn)镽且單調(diào)，顯然必存在唯一的x₂∈D，使

f(x1)+f(x2)

2

=2成立．故成立．
故答案為②④

點(diǎn)評：此題主要應(yīng)用新定義的方式考查平均值不等式在函數(shù)中的應(yīng)用．對于新定義的問題，需要認(rèn)真分析定義內(nèi)容，切記不可偏離題目．