Question

【題目】已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.

(1)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是的垂心，求直線的方程；

(2)若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1)；(2)2.

【解析】

（1）求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，求得的斜率，可得的斜率，設(shè)的方程，聯(lián)立拋物線方程，運(yùn)用判別式大于0和韋達(dá)定理，運(yùn)用兩直線垂直的條件，可得的方程，求得的值，即可得到所求直線方程；

（2）顯然最小，必須垂直于直線，分別過，作，垂直直線，垂足為，，運(yùn)用梯形的中位線定理，以及三點(diǎn)共線取得最小值，即可得到所求最小值．

(1)的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，

，為的垂心，可得，即有，

設(shè)的方程為，代入拋物線方程可得：

，可得，

由，可得，

，

化簡(jiǎn)可得，

即為，解得，

由，可得，

則的方程為；

(2)顯然最小，必須垂直于直線，

分別過作垂直直線，垂足為，

，

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線，且軸，

所以的最小值為2.