Question

【題目】已知函數(shù)

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當時，令，是否存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，若存在，求實數(shù)的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）不存在，見解析

【解析】

（1）求出，分三種情況討論的范圍，在定義域范圍內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；

（2）假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根，進而可得結(jié)果.

（1）的定義域為，

，

①即，則恒成立，

故在單調(diào)遞增，

②若，而，故，

則當時，；

當及時，，

故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

③若，即，同理在單調(diào)遞減，

在單調(diào)遞增.

（2），所以，

令，則對恒成立，

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以恒成立，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

假設(shè)存在區(qū)間，使得函數(shù)在區(qū)間的值域是，

則，

問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根，

即在區(qū)間內(nèi)是否存在兩個不相等的實根，

令，則，

設(shè)，

則對對恒成立，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

故恒成立，

所以，

所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

所以方程在區(qū)間內(nèi)不存在兩個不相等的實根.

綜上所述，不存在區(qū)間，

使得函數(shù)在區(qū)間上的值域是.