Question

等差數列{a_n}的前n項和為s_n，a1=1+ 

2

，s2=9+3 

2

．
（1）求數列{a_n}的通項a_n與前n項和為s_n；
（2）設bn= 

sn

n

（n∈N⁺），求證：數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成為等比數列．

Answer 1

（1）由已知得

a1= 2 +1 3a1+3d=9+3 2

，∴d=2，
故an=2n-1+

2

，Sn=n(n+

2

)．
（2）由（Ⅰ）得bn=

Sn

n

=n+

2

．
假設數列{b_n}中存在三項b_p，b_q，b_r（p，q，r互不相等）成等比數列，則b_q²=b_pb_r．
即(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)．
∴(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0，
∵p，q，r∈N^*，
∴

q2-pr=0 2q-p-r=0

，
∴(

p+r

2

)2=pr，(p-r)2=0，
∴p=r．
與p≠r矛盾．
所以數列{b_n}中任意不同的三項都不可能成等比數列．