Question

（2013•江門二模）如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知底面ABCD是邊長(zhǎng)為

2

的正方形，側(cè)棱D₁D垂直于底面ABCD，且D₁D=3．
（1）點(diǎn)P在側(cè)棱C₁C上，若CP=1，求證：A₁P⊥平面PBD；
（2）求三棱錐A₁-BDC₁的體積V．

Answer 1

分析：（1）依題意可得PB=

2

，A₁P=2

2

，A₁B=

10

，滿足A₁P²+PB²=A₁B²，可得A₁P⊥PB，進(jìn)而可得A₁P⊥PD，由線面垂直的判定定理可得結(jié)論；
（2）所求幾何體的體積等于四棱柱的體積減去四個(gè)體積相等的三棱錐的體積，由數(shù)據(jù)分別求得體積作差可得答案．

解答：解：（1）依題意，CP=1，C₁P=2，在Rt△BCP中，PB=

12+12

=

2

，
同理可知，A₁P=

22+22

=2

2

，A₁B=

32+12

=

10

 
所以A₁P²+PB²=A₁B²，則A₁P⊥PB，
同理可證，A₁P⊥PD，
由于PB∩PD=P，PB?平面PBD，PD?平面PBD，
所以，A₁P⊥平面PBD．
（2）如圖，易知三棱錐A₁-BDC₁的體積等于四棱柱的體積減去四個(gè)體積相等的三棱錐的體積，
即VA1-BDC1=VABCD-A1B1C1D1-4VA1-ABD
=AB×AD×A₁A-4×

1

3

×（

1

2

AB×AD）×A₁A
=

1

3

×

2

×

2

×3=2

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的判定，涉及三棱錐體積的求解，屬中檔題．