Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）²，數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}是公比為q（q∈R且q≠1）的等比數(shù)列．若a₁=f（d-1），a₃=f（d+1），b₁=f（q-1），b₃=f（q+1）
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列{C_n}對(duì)任意正整數(shù)n均有

C1

b1

+

C2

b2

+…+

Cn

bn

=an+1成立，求{C_n}的通項(xiàng)；
（3）試比較

3bn-1

3bn+1

與

an+1

an+2

的大小，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)已知條件直接求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）通過(guò)

C1

b1

+

C2

b2

+…+

Cn

bn

=an+1，列出n-1的表達(dá)式，作差即可求{C_n}的通項(xiàng)公式；
（3）分別計(jì)算

3bn-1

3bn+1

與

an+1

an+2

的表達(dá)式，通過(guò)二項(xiàng)式定理，證明判斷的結(jié)果即可．

解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}是公差為d的等差數(shù)列a₁=（d-2）²，a₃=d²
∴a₃-a₁=4d-4=2d∴d=2，a₁=0∴a_n=2n-2…（2分）
同理：b_n=3^n-1…（4分）
（2）∵

C1

b1

+

C2

b2

+…+

Cn

bn

=an+1
∴

C1

b1

+

C2

b2

+…+

Cn-1

bn-1

=an(n≥2)
以上兩式相減：

Cn

bn

=an+1-an(n≥2)
∴

Cn

bn

=2(n≥2)⇒Cn=2bn(n≥2)…（6分）
∴C_n=2•3^n-1（n≥2），經(jīng)檢驗(yàn)，n=1仍然成立
∴C_n=2•3^n-1…（8分）
（3）

3bn-1

3bn+1

=

3n-1

3n+1

；

an+1

an+2

=

n

n+1

∴

3bn-1

3bn+1

-

an+1

an+2

=

3n-1

3n+1

-

n

n+1

=

3n-2n-1

(3n+1)•(n+1)

…（9分）
當(dāng)n=1時(shí)，

3bn-1

3bn+1

=

an+1

an+2

當(dāng)n≥2時(shí)，3ⁿ=（1+2）ⁿ=C_n⁰2⁰+C_n¹2¹+…+C_nⁿ2ⁿ＞2n+1
∴

3bn-1

3bn+1

＞

an+1

an+2

綜上所述：n=1時(shí)，

3bn-1

3bn+1

=

an+1

an+2

，
n≥2時(shí)，

3bn-1

3bn+1

＞

an+1

an+2

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．