Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

ax2+1

bx+c

是奇函數(shù)，（a，b，c都是整數(shù)），且f（1）=2，f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增．
（1）求a，b，c的值；
（2）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)性如何？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）求三個(gè)未知數(shù)，需要三個(gè)條件，一是定義域要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，二是f（1）=2，三是f（2）＜3，f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增可解．
（2）用單調(diào)性定義來探討，先在給定的區(qū)間上任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形，在與0比較中出現(xiàn)討論，再進(jìn)一步細(xì)化區(qū)間，確定后即為所求的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數(shù)，
故f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
又f（x）的定義域?yàn)?span id="9o04tse" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">{x|x≠-

c

b

}（顯然b≠0，否則f（x）為偶函數(shù)）
∴-

c

b

=0，即c=0
于是得f(x)=

a

b

x+

1

bx

，且

a+1

b

=2，

4a+1

2b

＜3
∴

8b-3

2b

＜3
∴0＜b＜

3

2

又b∈Z
∴b=1
∴a=1
故a=b=1，c=0，符合f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增

（2）由（1）知f(x)=x+

1

x

，
f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-x2-

1

x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

x1-x2

x1x2

(x1x2-1)
①當(dāng)-1＜x₁＜x₂＜0時(shí)，顯然x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，x₁x₂-1＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）為減函數(shù)
②當(dāng)x₁＜x₂＜-1時(shí)，顯然x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x）為增函數(shù)
綜上所述，f（x）在（-∞，-1]上是增函數(shù)，在[-1，0）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)利用奇偶性和函數(shù)值，單間性來求解析式，在研究單調(diào)性中分類討論的思想應(yīng)用．