Question

設(shè)F₁、F₂分別為橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．
（1）若橢圓C上的點(diǎn)A（1，

3

2

）到F₁、F₂兩點(diǎn)的距離之和等于4，寫出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）已知圓心在原點(diǎn)的圓具有性質(zhì)：若M、N是圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是圓上的任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記作K_PM、K_PN那么K_PMK_PN=-1．試對(duì)橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1寫出類似的性質(zhì)，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意知2a=4，把點(diǎn)A（1，

3

2

）代入能推導(dǎo)出橢圓C的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上取關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N，在該曲線上任取不與M、N重合的動(dòng)點(diǎn)P，直線PM，PN的斜率存在．那么kPM•kPN=-

b2

a2

．
證明：設(shè)橢圓方程是

x2

A

+

y2

B

=1(A=a2，B=b2)，設(shè)M（m，n），則N（-m，-n），又設(shè)P（x，y），（x≠±m(xù)，），那么

m2

A

+

n2

B

=1且

x2

A

+

y2

B

=1，由此能夠推導(dǎo)出kPM•kPN=

y2-n2

x2-m2

=-

B

A

=-

b2

a2

．

解答：解：（1）由題意知，2a=4，∴橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

b2

=1，把點(diǎn)A（1，

3

2

）代入，得

1

4

+

9 4

b2

=1，解得b²=3，c²=1，∴橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1，焦點(diǎn)坐標(biāo)是F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）
（2）在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1上取關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N，在該曲線上任取不與M、N重合的動(dòng)點(diǎn)P，直線PM，PN的斜率存在．那么kPM•kPN=-

b2

a2

證明：設(shè)橢圓方程是

x2

A

+

y2

B

=1(A=a2，B=b2)，設(shè)M（m，n），則N（-m，-n），又設(shè)P（x，y），（x≠±m(xù)，），那么

m2

A

+

n2

B

=1①且

x2

A

+

y2

B

=1②
因?yàn)?span id="r8gt9dk" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">kPM•kPN=(

y-n

x-m

)•(

y+n

x+m

)=

y2-n2

x2-m2

，由①知：n2=B-

B

A

m2，由②y2=B-

B

A

x2，所以y2-n2=-

B

A

(x2-m2)，所以kPM•kPN=

y2-n2

x2-m2

=-

B

A

=-

b2

a2

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的正確選用．