Question

對于每項均是正整數的數列A：a₁，a₂，…，a_n，定義變換T₁，T₁將數列A變換成數列T₁(A)：n，a₁－1，a₂－1，…，a_n－1．

對于每項均是非負整數的數列B：b₁，b₂，…，b_m，定義變換T₂，T₂將數列B各項從大到小排列，然后去掉所有為零的項，得到數列T₂(B)；

又定義．

設A₀是每項均為正整數的有窮數列，令A_k+1＝T₂(T₁(A_k))(k＝0，1，2，…)．

(Ⅰ)如果數列A₀為5，3，2，寫出數列A₁，A₂；

(Ⅱ)對于每項均是正整數的有窮數列A，證明S(T₁(A))＝S(A)；

(Ⅲ)證明：對于任意給定的每項均為正整數的有窮數列A₀，存在正整數K，當k≥K時，S(A_k+1)＝S(A_k)．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：， 　　， 　　； 　　， 　　． 　　(Ⅱ)證明：設每項均是正整數的有窮數列為， 　　則為，，，，， 　　從而 　　． 　　又， 　　所以 　　 　　， 　　故． 　　(Ⅲ)證明：設是每項均為非負整數的數列． 　　當存在，使得時，交換數列的第項與第項得到數列， 　　則． 　　當存在，使得時，若記數列為， 　　則． 　　所以． 　　從而對于任意給定的數列，由 　　可知． 　　又由(Ⅱ)可知，所以． 　　即對于，要么有，要么有． 　　因為是大于2的整數，所以經過有限步后，必有． 　　即存在正整數，當時，．