Question

如圖已知：BA，BC，BB₁兩兩垂直，BCC₁B₁為矩形，ABB₁N為直角梯形，BC=BA=AN=4，BB₁=8．
（I）證明：BN⊥平面C₁B₁N；
（ll）求二面角C-NB₁-C₁的余弦值，
（III ）M為AB的中點，在線段CB上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則

BN

=(4，4，0)，

NB1

=(-4，4，0)，

B1C1

=（0，0，4），所以

BN

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0，由此能夠證明BN⊥平面C₁B₁N．
（II）由BN⊥平面C₁B₁N，知

BN

=（4，4，0）是平面C₁B₁N的一個法向量，再求出平面CB₁N的一個法向量

n

=(1，1，2)，利用向量法能夠求出二面角C-NB₁-C₁的余弦值．
（III）由M（2，0，0），設(shè)P（0，0，a）（0≤a≤4）為BC上一點，則

MP

=(-2，0，a)，由MP∥平面CNB₁，

MP

⊥

n

，能求出占點P坐標和BP的長．

解答：解：（I）以BA，BB₁，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則B（0，0，0），N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4），
∴

BN

=(4，4，0)，

NB1

=(-4，4，0)，

B1C1

=（0，0，4），
∴

BN

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0，
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁，
∵NB₁∩B₁C₁=B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N．

（II）∵BN⊥平面C₁B₁N，
∴

BN

=（4，4，0）是平面C₁B₁N的一個法向量，
設(shè)平面CB₁N的一個法向量為

n

=(x，y，z)，則

n

•

CN

=0，

n

•

B1N

=0，
∴

x+y-z=0 x-y=0

，解得

n

=(1，1，2)，
設(shè)二面角C-NB₁-C₁的平面角為θ，
則cosθ=|cos＜

BN

，

n

＞|=|

4+4

32 • 6

|=

3

3

，
∴二面角C-NB₁-C₁的余弦值為

3

3

．
（III）∵M（2，0，0），設(shè)P（0，0，a）（0≤a≤4）為BC上一點，
則

MP

=(-2，0，a)，
∵MP∥平面CNB₁，

MP

⊥

n

，
∴

MP

•

n

=-2+2a=0，解得a=1，
∴在BC上存在一點P（0，0，1），MP∥平面CNB₁，且BP=1．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，探索滿足條件的點是否存在．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想和向量法的合理運用．