Question

試判斷下面的證明過程是否是用數(shù)學(xué)歸納法的證明？若不是，請寫出正確答案.

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1+4+7+…+（3n-2）=n（3n-1）.

Answer 1

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1,

∴當(dāng)n=1時(shí)命題成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即

1+4+7+…+（3k-2）=k（3k-1）.

則當(dāng)n=k+1時(shí)，需證

1+4+7+…+（3k-2）+［3（k+1）-2］=（k+1）（3k+2）.                      （*）

由于左端等式是一個(gè)以1為首項(xiàng)，公差為3，項(xiàng)數(shù)為k+1的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，其和為

（k+1）（1+3k+1）=（k+1）（3k+2）.

∴（*）式成立，即n=k+1時(shí)，命題成立.根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)一切n∈N^*，命題成立.

解：以上的證明不是用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程.

在證明當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立時(shí)，沒有用到當(dāng)n=k時(shí)命題成立的歸納假設(shè)，故不符合數(shù)學(xué)歸納法證題的要求.

第二步正確的證明方法是：

假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，即

1+4+7+…+（3k-2）=k（3k-1），則當(dāng)n=k+1時(shí)，

1+4+7+…+（3k-2）+［3（k+1）-2］=k（3k-1）+（3k+1）=（3k²+5k+2）=（k+1）（3k+2）=（k+1）［3（k+1）-1］

即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立.