Question

在平面直角坐標系中，直線L：y=mx+3-4m，m∈R恒過一定點，且與以原點為圓心的圓C恒有公共點．
（1）求出直線L恒過的定點坐標；
（2）當圓C的面積最小時，求圓C的方程；
（3）已知定點Q（-4，3），直線L與（2）中的圓C交于M、N兩點，試問是否存在最大值，若存在則求出該最大值，并求出此時直線L的方程，若不存在請說明理由．

Answer 1

解：（1）直線L：y=mx+3-4m可化簡為y=m（x-4）+3（2分）
所以直線恒過定點T（4，3）（4分）
（2）由題意，要使圓C的面積最小，定點T（4，3）在圓上，
所以圓C的方程為x²+y²=25．（8分）
（3）
=
==2S_△MQN（10分）
由題意得直線L與圓C的一個交點為M（4，3），又知定點Q（-4，3），
直線L_MQ：y=3，|MQ|=8，則當N（0，-5）時S_MQN有最大值32．
即有最大值為64，（13分）
此時直線L的方程為2x-y-5=0．（14分）
分析：（1）直線L：y=mx+3-4m可化簡為y=m（x-4）+3，由此知直線恒過定點T（4，3）．
（2）由題意，要使圓C的面積最小，定點T（4，3）在圓上，由此能求出圓C的方程．
（3）===2S_△MQN．由此能夠導出的最大值和此時直線L的方程．
點評：本題考查直線和圓的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地選用公式．