Question

（2010•武昌區(qū)模擬）定義域和值域均為[-a，a]的函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象如圖所示，其中a＞c＞b＞0，給出下列四個(gè)命題：
①方程f[g（x）]=0有且僅有三個(gè)解；
②方程g[f（x）]=0有且僅有三個(gè)解；
③方程f[f（x）]=0有且僅有九個(gè)解；
④方程g[g（x）]=0有且僅有一個(gè)解．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由圖象可知對(duì)于函數(shù)y=f（x），當(dāng)-a≤y＜-c時(shí)，方程有一解，當(dāng)y=-c時(shí)，方程有兩解，當(dāng)-c＜y＜c時(shí)，方程有三個(gè)解，當(dāng)y=c時(shí)，方程有兩個(gè)解，當(dāng)c＜y≤a時(shí)，方程有一解．對(duì)于函數(shù)y=g（x），由圖象知，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)-a≤y≤a時(shí)，方程y=g（x）由唯一解．

解答：解：①設(shè)t=g（x），則由f[g（x）]=0，即f（t）=0，當(dāng)t=0時(shí)，則t=g（x）有三個(gè)不同值，由于y=g（x）是減函數(shù)，所有三個(gè)解，所以①正確．
②設(shè)t=f（x），若g[f（x）]=0，即g（t）=0，則t=b，所以f（x）=b，因?yàn)閏＞b＞0，所以對(duì)應(yīng)f（x）=b的解有3個(gè)，所以②正確．
③設(shè)t=f（x），若f[f（x）]=0，即f（t）=0，t=-b或t=0或t=b，則f（x）=-b，或f（x）=0，或f（x）=b，因?yàn)閍＞c＞b＞0，所以每個(gè)方程對(duì)應(yīng)著三個(gè)解，所以共9個(gè)解，所以③正確．
④設(shè)t=g（x），若g[g（x）]=0，即g（t）=0，所以t=b，則g（x）=b，因?yàn)閥=g（x）是減函數(shù)，所以方程g（x）=b只有1解，所以④正確．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，根據(jù)函數(shù)的圖象，分別判斷根的個(gè)數(shù)，考查學(xué)生的邏輯思維能力及識(shí)別圖象的能力．