Question

（1）設(shè)一次函數(shù)f（x）滿足f（3）=2，f（2）=3，求f（5）的值；
（2）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇a，b]（a＜b），則稱函數(shù)f（x）是[a，b]上的“方正”函數(shù)．
①設(shè)是[a，b]上的“方正”函數(shù)，求常數(shù)a，b的值．
②問是否存在常數(shù)a，b（a＞-2），使函數(shù)是區(qū)間[a，b]上的“方正”函數(shù)？若存在，求出a，b的值；不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)f（x）=mx+n（m≠0），又f（3）=2，f（2）=3，
所以3m+n=2，2m+n=3?m=-1，n=5
即f（x）=-x+5?f（5）=0；
（2）①由知g（x）在[a，b]上單調(diào)增函數(shù)且a≥1，
所以值域?yàn)閇g（a），g（b）]，
由已知是[1，b]上的“方正”函數(shù)，所以[g（a），g（b）]=[a，b]
則g（a）=a，g（b）=b，即a，b是方程g（x）=x的兩個(gè)根（1≤a＜b）
解方程得x=1或x=3，所以a=1，b=3
②假設(shè)存在常數(shù)a，b，使函數(shù)是區(qū)間[a，b]上的“方正”函數(shù)．
因a＞-2，顯然在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)減函數(shù)，值域?yàn)閇h（b），h（a）]=[a，b]，
即與a＜b矛盾，
故不存在常數(shù)a，b，使函數(shù)是區(qū)間[a，b]上的“方正”函數(shù)．
分析：（1）直接設(shè)出函數(shù)解析式，根據(jù)已知條件列出方程求出解析式即可得到結(jié)論．
（2））①先由知g（x）在[a，b]上單調(diào)增函數(shù)且a≥1，再結(jié)合“方正”函數(shù)的定義得到g（a）=a，g（b）=b，即a，b是方程g（x）=x的兩個(gè)根；解方程即可求出常數(shù)a，b的值．
②根據(jù)a＞-2，得到在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)減函數(shù)，值域?yàn)閇h（b），h（a）]=[a，b]，解對應(yīng)的方程組求出a=b與a＜b矛盾即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評：本題主要是在新定義下對函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用的考查，考查計(jì)算能力以及分析問題的能力．