Question

已知函數(shù)f(x)=(

1

2

)x+(

1

4

)x-2．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）求f（x）的值域；
（3）解方程f（x）=0；
（4）求解不等式f（x）＞0．

Answer 1

分析：（1）此函數(shù)由y=t²+t-2與t=(

1

2

)x兩個函數(shù)復(fù)合而成，判斷出內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性以及內(nèi)層函數(shù)的值域與外層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷規(guī)則同增異減得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）內(nèi)層函數(shù)的值域是（0，+∞），解出外層函數(shù)y=t²+t-2在（0，+∞）上的值域，求得函數(shù)的值域；
（3）由f（x）=0得t²+t-2=0，解出t=1，令(

1

2

)x=1解出x的值即可得到方程的根；
（4）由f（x）＞0得t²+t-2＞0解得t＞1或t＜-2（舍），令(

1

2

)x＞1，解得x的取值范圍，即為原不等式的解集

解答：解：（1）此函數(shù)由y=t²+t-2與t=(

1

2

)x兩個函數(shù)復(fù)合而成，由于t=(

1

2

)x是一個減函數(shù)，且其值域為（0，+∞），函數(shù)
y=t²+t-2在（-

1

2

，+∞）是增函數(shù)，此復(fù)合函數(shù)外增內(nèi)減，故是單調(diào)遞減函數(shù)；
（2）由（1）內(nèi)層函數(shù)的值域是（0，+∞），外層函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)，故函數(shù)的值域為（-2，+∞）；
（3）由f（x）=0得t²+t-2=0，解得t=-2（舍）或t=1，令(

1

2

)x=1解得x=0；
（4）由f（x）＞0得t²+t-2＞0解得t＞1或t＜-2（舍），令(

1

2

)x＞1，解得x＜0，即不等式的解集是（-∞，0）．

點評：本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，解此類題關(guān)鍵是分清內(nèi)外層函數(shù)及它們的性質(zhì)，本題將復(fù)合函數(shù)性質(zhì)研究問題一分為二研究單調(diào)性，這是復(fù)合函數(shù)單調(diào)性研究常用的方法，在求解復(fù)合函數(shù)的值域時采取的順序是先內(nèi)而外，解此類方程或解此類不等式時由外而內(nèi)，題后注意體會總結(jié)復(fù)合函數(shù)中這幾個題型的解題的方法規(guī)律．