Question

（2009•武昌區(qū)模擬）設函數(shù)f(x)=

a

•

b

，其中向量

a

=(m，cosx)，

b

=(1+sinx，1)，x∈R，且f(

π

2

)=2．   
（Ⅰ）求實數(shù)m的值； 
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的最大值．

Answer 1

分析：（I）由已知中向量

a

=(m，cosx)，

b

=(1+sinx，1)，函數(shù)f(x)=

a

•

b

，根據(jù)向量數(shù)量積運算法則，我們易求出函數(shù)的解析式，結合f(

π

2

)=2，我們可以構造一個關于m的方程，進而求出m的值．
（II）由（I）中結論，我們可以求出函數(shù)f（x）的解析式，利用輔助角公式，我們可將其化為正弦型函數(shù)的形式，進而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質，求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-

π

2

，

π

2

]上的最大值．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

=m(1+sinx)+cosx．（3分）
由f(

π

2

)=m(1+sin

π

2

)+cos

π

2

=2，得m=1． （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f(x)=sinx+cosx+1=

2

sin(x+

π

4

)+1．（8分）
由-

π

2

≤x≤

π

2

，得-

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

4

．
∴當x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

4

時，函數(shù)f（x）有最大值

2

+1．（12分）

點評：本題考查的知識點是三角函數(shù)的最值，平面向量數(shù)量積的運算，其中（I）的關鍵是根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算公式，結合f(

π

2

)=2，構造一個關于m的方程，（II）的關鍵是輔助角公式，將函數(shù)f（x）的解析式化為正弦型函數(shù)的形式．